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Momentos muestrales

Los momentos muestrales son un conjunto de estadísticos muestrales o fórmulas genéricas relativas a una distribución de datos que pretenden caracterizar dicha distribución de forma sistemática. Para una distribución estadística cuantitativa unidimensional se distinguen los momentos respecto al origen o momentos absolutos y los momentos respecto a la media, momentos centrales o momentos centrados. Ambos tipos de momentos están relacionados de modo que cualquier momento respecto a la media puede expresarse en términos de una suma de momentos respecto al origen. Los momentos muestrales pueden considerarse como estimadores de los momentos de un modelo de probabilidad unidimensional; de hecho, existe un método de estimación de parámetros llamdo método de los momentos basado en esta correspondencia.

**Momentos respecto al origen (momentos absolutos) **

Los momentos respecto al origen o momentos absolutos de orden $r$ se calculan de acuerdo a esta fórmula para los datos $x_1,x_2,...,x_n$ :

a_r=\cfrac{\sum_i x_i^r}{n}

Como ejemplo desarrollemos los momentos respecto al origen de orden 0, 1 y 2:

a_0=\cfrac{\sum_i x_i^0}{n}=\cfrac{\sum_i 1}{n}=\cfrac{n}{n}=1

a_1=\cfrac{\sum_i x_i^1}{n}=\cfrac{\sum_i x_i}{n}=\overline{x}

a_2=\cfrac{\sum_i x_i^2}{n}

Ciertos momentos muestrales coinciden con conocidos estadísticos: por ejemplo, como puede observarse en los desarrollos anteriores, el momento respecto al origen de orden 1 coincide con la media aritmética simple.

Por ejemplo, para los datos 1-2-2-3-5, calcularíamos el momento respecto al origen de orden 3 de esta forma:

a_3=\cfrac{1^3+2^3+2^3+3^3+5^3}{5}=33.8

**Momentos respecto a la media (momentos centrales o centrados) **

Los momentos respecto a la media o momentos centrales o centrados de orden $r$ se calculan de acuerdo a esta fórmula para los datos $x_1,x_2,...,x_n$ :

m_r=\cfrac{\sum_i (x_i-\overline{x})^r}{n}

Como ejemplo desarrollemos los momentos respecto al origen de orden 0, 1 y 2:

m_0=\cfrac{\sum_i (x_i-\overline{x})^0}{n}=\cfrac{\sum_i 1}{n}=\cfrac{n}{n}=1

m_1=\cfrac{\sum_i (x_i-\overline{x})^1}{n}=\cfrac{\sum_i (x_i-\overline{x})^1}{n}=\cfrac{\sum_i x_i-\sum_i \overline{x}}{n}=\cfrac{\sum_i x_i-n\overline{x}}{n}=\cfrac{n\overline{x}-n\overline{x}}{n}=0

m_2=\cfrac{\sum_i (x_i-\overline{x})^2}{n}

Al igual que ocurre con los momentos respecto al origen, ciertos momentos muestrales centrados coinciden con estadísticos comúnmente utilizados: por ejemplo, como puede observarse en los desarrollos anteriores, el momento respecto a la media de orden 2 coincide con la varianza muestral. Por otro lado, los momentos respecto a la media de orden 3 y 4, se utilizan para calcular el coeficiente de asimetría de Fisher y el coeficiente de curtosis de Pearson respectivamente:

Por ejemplo, para los datos 1-2-4-5, calcularíamos el momento respecto a la media de orden 3 de esta forma:

\overline{x}=\cfrac{1+2+4+5}{4}=3

m_3=\cfrac{(1-3)^3+(2-3)^3+(4-3)^3+(5-3)^3}{4}=5.5

Los momentos respecto a la media puede calcularse como suma de momentos respecto al origen. Por ejemplo, para el momento central de orden 2, sabiendo que la suma de $n$ términos de una constante, es $n$ veces esa constante, que la constante que multiplica el término de un sumatorio puede sacarse del sumatorio multiplicando y que $\sum_i x_i=n\overline{x}$ :

m_2=\cfrac{\sum_i (x_i-\overline{x})^2}{n}=\cfrac{\sum_i (x_i^2+\overline{x}^2-2x_i\overline{x})}{n}=\cfrac{\sum_i x_i^2}{n} +\cfrac{\sum_i \overline{x}^2}{n}-2 \overline{x}\cfrac{ \sum_i x_i}{n}=

\cfrac{\sum_i x_i^2}{n} +\cfrac{n \overline{x}^2}{n}-2 \overline{x}\overline{x}=\cfrac{\sum_i x_i^2}{n} -\overline{x}^2=a_2-a_1^2

Resultando de esta forma una fórmula alternativa para el cálculo de la varianza.

A continuación se dan dos expresiones para desarrollar los momentos centrales en forma de suma de momentos respecto al origen:

m_r = \sum_{i=0}^r {r \choose i} \, a_{r-i} \, (-a_1)^i = \sum_{i=0}^r {r \choose i}\, a_i \, (-a_1)^{r-i}

Los momentos respecto al origen también se pueden desarrollar en forma de suma de momentos centrales:

a_r = \sum_{i=0}^r {r \choose i} \, m_{r-i} \, (-m_1)^i = \sum_{i=0}^r {r \choose i}\, m_i \, (-m_1)^{r-i}

Como ejemplo desarrollemos el momento central de orden 3 como suma de momentos respecto al origen, recordando que $a_0=1$ :

m_3 = {3 \choose 0} \, a_3 \, (-a_1)^0 +{3 \choose 1} \, a_2 \, (-a_1)^1 +{3 \choose 2} \, a_3 \, (-a_1)^2+{3 \choose 3} \, a_0 \, (-a_1)^3 =

a_3-3a_2a_1+3a_1a_1^2-a_0a_1^3=a_3-3a_2a_1+2a_1^3

Josemari Sarasola

Editor coordinador

Publicado06·04·2024

Palabras597

Revisado porRedacción

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