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Varianza poblacional (distribuciones de probabilidad)

La varianza poblacional, también denominada en general varianza de una variable aleatoria, o varianza de una distribución de probabilidad en concreto, es una medida de dispersión estadística de una variable aleatoria o distribución de probabilidad. Se denota por $\sigma^2$ (sigma cuadrado) y viene dada por el momento central de segundo orden correspondiente a la variable aleatoria $X$ en cuestión, siendo $\mu$ la media poblacional o esperanza matemática:

\sigma^2=\mu_2=E[(X-\mu)^2]

Desarrollando la definición anterior puede calcularse también en términos de momentos respecto al origen:

\sigma^2=\alpha_2-\alpha_1^2=E[X^2]-\mu^2

Su cálculo en la práctica difiere según nos encontremos ante una variable aleatoria discreta o una variable aleatoria continua. Examinemos cada caso.

Varianza de una distribución de probabilidad discreta

Denotando $x_i$ y $p(x_i)$ los diferentes valores que tomas la variable aleatoria y

\sigma^2=\sum(x_i-\mu)^2p(x_i)=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2

Ejemplo

Vamos a calcular la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado. Para ello partimos de la distribución de probabilidad de dicha puntuación en las primeras dos columnas:

$x_i$	$p(x_i)$	$x_ip(x_i)$	$x_i^2p(x_i)$
1	1/6	1/6	1/6
2	1/6	2/6	4/6
3	1/6	3/6	9/6
4	1/6	4/6	16/6
5	1/6	5/6	25/6
6	1/6	6/6	36/6
		suma=21/6=3.5	suma=91/6=15.16

De este modo, la varianza de la puntuación obtenida al lanzar un dado equilibrado:

\sigma^2=\sum x_i^2p(x_i) - (\sum x_ip(x_i))^2=15.16-3.5^2=2.91

Josemari Sarasola

Editor coordinador

Publicado22·07·2024

Palabras210

Revisado porRedacción

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