La distribución de Pareto

La distribución de Pareto es la forma matemática de la frase «unos pocos tienen mucho y muchos tienen poco». Describe magnitudes en las que la fracción de la población que supera un valor x cae como una potencia de x: si se duplica la renta que se pregunta, la proporción de personas que la superan se divide siempre por la misma cantidad, tanto entre los pobres como entre los ricos. Eso produce una cola larga —hay gente con cien y con mil veces la renta mínima, poca pero real— que ninguna campana de Gauss produciría. Vilfredo Pareto la encontró en las rentas de varios países europeos en la década de 1890, y desde entonces ha aparecido en el tamaño de las ciudades, de las empresas, de los incendios, de los cráteres de la Luna y de los enlaces de la web.

Pareto era ingeniero, y miró los datos fiscales como un ingeniero mira una curva: en papel logarítmico. Tomó, para cada nivel de renta x, el número N de contribuyentes que ganaban más que x, y encontró que el logaritmo de N caía en línea recta con el logaritmo de x. La pendiente de esa recta, que llamó α, era parecida en Inglaterra en 1843 y en 1880, en Prusia, en Sajonia, en Florencia y en el Perú: alrededor de 1,5. Le pareció una ley natural, tan independiente de las instituciones como la ley de la gravedad, y sacó de ella una conclusión política —que la desigualdad no se corregía con reformas— que le acompañó toda la vida y que sus datos no autorizaban. Lo que sí había encontrado era una regularidad de las colas: por encima de cierto nivel, la distribución de la renta tiene la misma forma en sociedades muy distintas, y lo que cambia entre ellas es el valor de α.

El exponente lo decide todo, y el deslizador de la figura lo demuestra. Con α = 1,5, el de Pareto, el 20 % más rico recibe casi el 60 % de la renta y uno de cada treinta gana más de diez veces el mínimo. Con α = 1,16, el 20 % más rico recibe exactamente el 80 %: es el famoso «principio 80/20», que no formuló Pareto sino Joseph Juran en los años cuarenta, cuando se dio cuenta de que los defectos de fabricación se concentraban en unas pocas causas y bautizó la observación con el nombre del economista que había visto lo mismo en las rentas; el principio de Pareto que se usa en gestión es esa versión, y la proporción 80/20 no tiene nada de universal: es lo que sale para un α concreto. Con α por debajo de 1 la distribución no tiene media, en el sentido de que la media de una muestra crece sin límite con el tamaño de la muestra porque siempre aparece alguien más rico que todos los anteriores juntos; con α = 3 o más la cola se adelgaza tanto que la distribución empieza a parecer una campana. La renta real de la mayoría de los países tiene hoy un α entre 1,5 y 3 en su tramo alto, y las fortunas —el patrimonio, no la renta— tienen exponentes más bajos, entre 1 y 1,5, porque el patrimonio se acumula y se hereda.

El tercer botón superpone una distribución sin cola pesada: la exponencial, que es la que produce el reparto de rentas cuando se intercambia dinero al azar, como muestra el artículo siguiente sobre el modelo de intercambio aleatorio. Tiene la misma renta media que la muestra de Pareto, y en la escala logarítmica su curva se dobla hacia abajo cada vez más deprisa: la probabilidad de encontrar a alguien con veinte veces la renta media es, en la exponencial, de dos entre mil millones, y en una Pareto con α = 1,5, de más de uno de cada cien. Las dos tienen Ginis parecidos —la exponencial da exactamente 0,5— y sin embargo describen sociedades distintas: en una hay ricos, en la otra hay muy ricos. Esa es la razón de que los economistas que estudian las rentas altas, como Anthony Atkinson, Thomas Piketty y Emmanuel Saez, no trabajen con el Gini sino con las cuotas del 1 % o del 0,1 % más rico, que es donde está la información, y de que el coeficiente de Gini sea insensible justo a lo que la distribución de Pareto tiene de particular.

Por qué las rentas altas siguen una ley de potencias es una pregunta con varias respuestas, y todas se parecen. Benoit Mandelbrot mostró en 1960 que las distribuciones de Pareto son estables al sumarse, como la de Gauss, pero para variables con cola pesada; Xavier Gabaix resumió en 2016 la explicación que hoy convence a más economistas: un proceso en el que la renta o el patrimonio crecen cada año en una proporción aleatoria —el interés compuesto con azar—, frenado por algo que impida que nadie caiga por debajo de un mínimo, produce inevitablemente una cola de Pareto, y su exponente depende de cuánto crece lo que ya se tiene respecto a lo que crece la economía. Es el mismo mecanismo que la conexión preferencial en las redes y el efecto Mateo en la ciencia, y explica por qué el α de las fortunas es más bajo que el de las rentas: el patrimonio crece con un interés compuesto que el salario no tiene. Mark Newman revisó en 2005 la lista de fenómenos en los que se ha encontrado la ley —palabras, ciudades, citas, terremotos, apellidos, guerras— y el motivo de que sea tan fácil creer verla donde no está: en papel logarítmico casi todo parece una recta, y hace falta la estadística que describe la ley de Zipf para no engañarse.

Lo que queda de Pareto no es su ley natural sino su gesto: mirar la cola en lugar del centro. La estadística del siglo XIX se había construido alrededor de la media y de la campana, del «hombre medio» de Quetelet, y en una distribución de rentas la media es una ficción que no describe a casi nadie. Pareto miró a los que estaban lejos de ella, descubrió que había un orden allí también, y con eso abrió la puerta a la pregunta que los artículos siguientes miden de distintas maneras: no cuánta desigualdad hay sino qué forma tiene.