El teorema central del límite

El teorema central del límite afirma que, si se toman muchas muestras del mismo tamaño de una población cualquiera y se calcula la media de cada una, esas medias se distribuyen aproximadamente como una campana de Gauss, con independencia de la forma que tuviera la población de partida. La aproximación mejora al crecer el tamaño de la muestra, y la anchura de la campana se estrecha en proporción a la raíz cuadrada de ese tamaño. Es el resultado que permite que casi toda la estadística aplicada funcione: intervalos de confianza, contrastes de hipótesis y márgenes de error de las encuestas descansan en él, y por eso se le llama central, en el sentido de «que ocupa el centro», no en el de que hable de centros.

La afirmación es menos intuitiva de lo que parece cuando se enuncia en abstracto, y por eso conviene verla ocurrir. En la figura se elige una población deliberadamente poco gaussiana —una exponencial, con toda su masa pegada al cero y una cola larga a la derecha; una distribución con dos picos y nada en medio; un dado, que solo puede dar seis valores— y se extraen de ella muestras del tamaño que se quiera. Cada muestra aparece como una hilera de puntos sobre la población, su media se marca en naranja, y esa media cae al histograma de abajo. Con una sola muestra el histograma no dice nada. Con cien empieza a insinuarse una forma. Con mil, la campana está ahí, centrada exactamente en la media de la población, aunque la población no se le parezca en nada.

Dos cosas se aprecian en el simulador que la fórmula esconde. La primera es que con tamaño de muestra 1 no ocurre nada: las «medias» son los propios valores, y el histograma reproduce la forma de la población, sesgo incluido. La campana no está en los datos, está en el promedio. La segunda es que la velocidad a la que aparece depende de lo asimétrica que sea la población de partida. Con la uniforme, cinco valores por muestra bastan para que la forma sea razonablemente gaussiana; con la exponencial hacen falta veinte o treinta, y con una renta de cola muy larga la cola derecha del histograma sigue siendo visible bastante después. La regla práctica que enseñan los manuales —«a partir de treinta observaciones se puede suponer normalidad»— no es un teorema sino una observación empírica sobre poblaciones moderadamente sesgadas, y el simulador permite ver dónde falla.

La historia del resultado es larga porque tardó en enunciarse con generalidad. Abraham de Moivre publicó en 1733 que el número de caras al lanzar muchas monedas se aproxima con la curva que hoy llamamos normal; era un caso particular, el de sumar variables que solo valen cero o uno. Pierre-Simon Laplace extendió el argumento en 1810 a sumas de variables de casi cualquier tipo y lo aplicó a los errores de medida astronómicos, que era el problema que le interesaba: si cada observación de un planeta arrastra un error compuesto de muchas causas pequeñas e independientes, la suma de esas causas es aproximadamente normal, y por tanto el error también. Las demostraciones rigurosas, con condiciones explícitas sobre las variables, llegaron con Aleksandr Liapunov en 1901 y con Jarl Lindeberg y Paul Lévy en los años veinte. El nombre lo puso George Pólya en 1920, en un artículo escrito en alemán, y su elección del adjetivo zentral se refería a la posición del teorema dentro de la teoría de la probabilidad.

El enunciado moderno tiene tres condiciones y conviene conocerlas porque cada una puede fallar en la práctica. Las observaciones tienen que ser independientes, o al menos no demasiado dependientes; deben proceder de la misma distribución, o de distribuciones parecidas; y esa distribución debe tener varianza finita. La tercera es la que más sorprende: existen distribuciones, como la de Cauchy, cuya cola es tan pesada que ni siquiera tienen media definida, y para ellas el teorema simplemente no se cumple. La media de mil observaciones de Cauchy es tan errática como una sola. En economía y finanzas, donde los rendimientos extremos son más frecuentes de lo que una normal admitiría, esta condición es motivo de discusión permanente desde que Benoit Mandelbrot la planteó en los años sesenta.

El teorema también dice cuánto se estrecha la campana, y ese detalle es el que sostiene las encuestas. La desviación típica de las medias muestrales es la de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de muestra. Para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra; para reducirlo a la décima parte, multiplicarla por cien. Es la razón de que un sondeo de mil personas tenga un margen de error de unos tres puntos y de que pasar a diez mil personas solo lo baje a uno: el rendimiento decreciente está escrito en la raíz cuadrada. En la figura, al aumentar el tamaño de muestra de 5 a 20 el histograma se estrecha justo a la mitad, y la lectura compara la dispersión observada con la que predice la fórmula.

Andrew Berry en 1941 y Carl-Gustav Esseen en 1942 respondieron, por separado, a la pregunta natural de cómo de buena es la aproximación para un tamaño de muestra dado. Su cota dice que la distancia máxima entre la distribución real de la media y la normal está acotada por una constante multiplicada por una medida de la asimetría de la población y dividida por la raíz del tamaño de muestra. Es el enunciado preciso de lo que el simulador muestra a ojo: la campana llega antes cuanto más simétrica sea la población y cuanto mayor sea la muestra, y la relación entre ambas cosas es exactamente la raíz cuadrada.

Lo que el teorema no dice es igualmente importante. No afirma que los datos individuales de ninguna población sean normales, ni que muchos fenómenos naturales lo sean; afirma algo sobre los promedios de muestras. Las alturas humanas se aproximan a una normal porque cada altura es, en efecto, la suma de muchas contribuciones pequeñas, pero las rentas, los tamaños de las ciudades o la frecuencia de las palabras no lo son ni lo serán por mucho que se mida. Confundir «las medias de las muestras son normales» con «los datos son normales» es un error frecuente, y el simulador lo desmonta con solo mirar las dos gráficas a la vez: la de arriba, la población, no cambia nunca de forma; la de abajo, las medias, se vuelve campana sea cual sea la de arriba.