El cuarteto de Anscombe

El cuarteto de Anscombe son cuatro conjuntos de once puntos cada uno que comparten, hasta el segundo decimal, todas las cifras con las que un análisis de rutina describe una relación entre dos variables: la media de x es 9, la media de y es 7,5, la varianza de cada una es la misma, la correlación es 0,816 y la recta de mínimos cuadrados es y = 3 + 0,5·x en los cuatro casos. Dibujados, no se parecen en nada. El estadístico Francis Anscombe los construyó en 1973 para un artículo de tres páginas cuyo argumento cabe en una frase: hay que mirar los datos antes de resumirlos, porque el resumen puede ser idéntico para situaciones que no tienen nada que ver.

El primer conjunto es el que uno imagina cuando oye «correlación 0,8»: una nube alargada con dispersión moderada alrededor de una recta. El segundo es una curva perfecta, una parábola sin ruido, a la que la recta se ajusta mal por la misma razón por la que se ajustaría mal a cualquier arco. El tercero es una línea recta exacta con un único punto fuera de sitio, que tira de la recta ajustada y la aparta de los otros diez. El cuarto es el más extraño: diez puntos apilados en la misma x y uno solo, lejos, que decide por sí mismo la pendiente, la correlación y todo lo demás. Quitado ese punto, la relación no existe. La figura de esta página permite comprobarlo arrastrándolo.

Anscombe escribió el artículo contra una actitud que le parecía extendida entre sus colegas y sus alumnos, y que resumió en dos creencias: que los cálculos numéricos son exactos mientras que los gráficos son toscos, y que un conjunto de datos «sirve» para un análisis en cuanto se han calculado unos cuantos estadísticos. Sostenía lo contrario. Los gráficos, decía, sirven para descubrir lo que no se esperaba, y los cálculos solo confirman lo que ya se sospechaba. Ambas cosas hacen falta, pero en ese orden. Anscombe trabajaba en Yale, era el creador del departamento de estadística de esa universidad y había sido, además, cuñado y colaborador de John Tukey, cuyo Análisis exploratorio de datos de 1977 convertiría esa misma actitud en un programa completo.

Lo notable del cuarteto es lo poco que hace falta para engañar a los estadísticos habituales. La media, la varianza, la correlación y la recta de regresión son sumas de cuadrados y productos; cualquier configuración de puntos que produzca las mismas sumas produce las mismas cifras, y hay infinitas configuraciones que lo hacen. La tabla de la figura marca en naranja las cifras que cambian al mover un punto, y enseña algo que en el artículo solo se intuye: la mayoría de los movimientos cambian todo a la vez, pero hay direcciones en las que un punto puede desplazarse sin alterar casi nada. En el cuarto conjunto, el punto aislado en x = 19 sostiene él solo la correlación de 0,816; los otros diez, que no varían en x, no aportan a la relación ninguna información.

Anscombe no explicó cómo había construido los cuatro conjuntos, y la pregunta quedó abierta hasta que Sangit Chatterjee y Aykut Firat publicaron en 2007 un algoritmo genético para generar, a partir de cualquier conjunto de datos, otros con los mismos estadísticos y un aspecto tan distinto como se quiera. En 2017 Justin Matejka y George Fitzmaurice llevaron la idea al extremo con el método del recocido simulado: partiendo de un dibujo de un dinosaurio hecho de puntos —el datasaurus, ideado por el periodista visual Alberto Cairo—, lo deformaron hasta convertirlo en una estrella, un círculo, líneas paralelas y una docena de figuras más, todas con la misma media, la misma desviación típica y la misma correlación hasta el segundo decimal. La docena del datasaurus es hoy la ilustración habitual de la lección de Anscombe, y funciona por la misma razón: la vista distingue formas que los momentos de una distribución no distinguen.

Edward Tufte reprodujo el cuarteto en 1983 en La representación visual de la información cuantitativa, y desde entonces aparece en casi todos los manuales de visualización, a veces como un argumento a favor de los gráficos frente a los números. Conviene leerlo con más precisión. Anscombe no decía que los gráficos sustituyan al cálculo, sino que una recta de regresión sin el diagrama de dispersión que la acompaña es una afirmación que no se ha comprobado. El segundo conjunto necesita una curva, no una recta; el tercero pide investigar un punto que probablemente es un error de medida; el cuarto no admite ningún análisis, porque toda la información está en una sola observación. Las cifras son las mismas y las decisiones correctas son cuatro distintas.

La lección se extiende a cualquier resumen. Una media esconde si la distribución tiene una o dos jorobas; una tasa de acierto esconde qué casos se aciertan; un coeficiente de correlación esconde si la relación la sostienen mil puntos o uno. El lienzo vacío de la figura sirve para comprobar el argumento al revés: basta con colocar unos pocos puntos para ver cuánto puede moverse la nube sin que las cifras se enteren. Anscombe pedía que los programas de análisis produjeran gráficos por defecto, en una época en la que dibujar uno costaba tiempo de ordenador. Hoy cuestan nada, y la razón para no mirarlos ha desaparecido.